微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

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明日だ！ヤバい！こんな記事を書いている場合ではないが、書いてると結構理解が深まる感覚があるのでやる。

今回は積分の平均値の定理。これは、関数 $f(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続であるとき、次の等式を満たす $c$ が存在する。

$$f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx$$

教科書だと $\int_a^b f(x)g(x) dx = f(c)\int_a^b g(x) dx$ とか書いててガチで意味がわからなかった。たぶんこれが厳密な定義なんだろうが、無視する。

というわけで問題を解いてみる。

(1)

問題

$0 < a < b \le c < d < \pi$ のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \frac{\sin x}{x} dx > \frac{1}{d-c} \int_{c}^{d} \frac{\sin x}{x} dx$$

導出

積分の平均値の定理より、$a < s < b$ と $c < t < d$ が存在して、次を満たす。

$$\begin{aligned} \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} \frac{\sin x}{x} dx &= \frac{\sin s}{s} \\ \frac{1}{d - c} \int_{c}^{d} \frac{\sin x}{x} dx &= \frac{\sin t}{t} \end{aligned}$$

ここで、$\sin x / x$ は $[0, \pi]$ で単調減少関数である。よって、

$$\begin{aligned} \frac{\sin s}{s} &> \frac{\sin t}{t} \\ \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \frac{\sin x}{x} dx &> \frac{1}{d-c} \int_{c}^{d} \frac{\sin x}{x} dx \end{aligned}$$

よって与式は成り立つ。

感想

こ、これは、、、！簡単な気がする！！単調減少かどうか判別できる感性は持ち合わせていないが、まあ証明に都合のいいように言い張ればおそらく合っているだろう。

(2)

問題

$a > 0$, $b > 0$ のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\frac{1}{\sqrt{a + b + 1}} < \int_{b}^{b + 1} \frac{dx}{\sqrt{a + x}} < \frac{1}{\sqrt{a + b}}$$

導出

積分の平均値の定理より、$b < s < b + 1$ が存在して、次を満たす。

$$\int_{b}^{b + 1} \frac{dx}{\sqrt{a + x}} = \frac{1}{\sqrt{a + s}}$$

$b < s < b + 1$ より、

$$\begin{aligned} \sqrt{a + b + 1} &< \sqrt{a + s} < \sqrt{a + b} \\ \frac{1}{\sqrt{a + b + 1}} &> \frac{1}{\sqrt{a + s}} > \frac{1}{\sqrt{a + b}} \\ \frac{1}{\sqrt{a + b + 1}} &< \int_{b}^{b + 1} \frac{dx}{\sqrt{a + x}} < \frac{1}{\sqrt{a + b}} \end{aligned}$$

よって与式は成り立つ。

感想

これだよこれ。定理を覚えて算数をするだけで解ける問題。絶対にこれが出てほしい

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積分の平均値の定理が大好きになりました。