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2024-12-15

微分積分 1人アドベントカレンダー 10日目 積分の練習

微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

置換積分と部分積分を駆使して、練習問題を解きまくっていく。

(1). ∫x+1(x−1)2(x−2)dx\int \frac{x + 1}{(x - 1)^2(x - 2)} dx

導出

∫x+1(x−1)2(x−2)=∫3(x−1)−2(x−2)(x−1)2(x−2)=3∫1(x−1)(x−2)dx−2∫1(x−1)2dx=3∫(x−1)−(x−2)(x−1)(x−2)dx−2∫1(x−1)2dx=3∫1x−2dx−3∫1x−1dx−2∫1(x−1)2dx=3log⁡∣x−2∣−3log⁡∣x−1∣+2x−1+C\begin{aligned} \int \frac{x + 1}{(x - 1)^2(x - 2)} &= \int \frac{3(x - 1) - 2(x - 2)}{(x - 1)^2(x-2)} \\ &= 3 \int \frac{1}{(x - 1)(x - 2)} dx - 2 \int \frac{1}{(x - 1)^2} dx \\ &= 3 \int \frac{(x - 1) - (x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} dx - 2 \int \frac{1}{(x - 1)^2} dx \\ &= 3 \int \frac{1}{x - 2} dx - 3 \int \frac{1}{x - 1} dx - 2 \int \frac{1}{(x - 1)^2} dx \\ &= 3 \log |x - 2| - 3 \log |x - 1| + \frac{2}{x - 1} + C \end{aligned}

感想

これは部分分数分解でゴリ押しや！

(2). ∫x(x4−1)2dx\int \frac{x}{(x^4 - 1)^2} dx

導出

t=x2t = x^2 とおくと、dt=2xdxdt = 2x dx, xdx=12dtx dx = \frac{1}{2}dt である。よって、

∫x(x4−1)2dx=12∫1(t2−1)2dt=12∫1(t−1)2(t+1)2dt=12∫(−14t−1+14(t−1)2+14t+1+14(t+1)2)dt=12(−14log⁡∣t−1∣−14(t−1)+14log⁡∣t+1∣−14(t+1))+C=12(14log⁡∣t+1∣∣t−1∣−2t4(t2−1))+C=18(log⁡∣x2+1∣∣x2−1∣−2x2x4−1)+C\begin{aligned} \int \frac{x}{(x^4 - 1)^2} dx &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{(t^2 - 1)^2} dt \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{(t - 1)^2(t + 1)^2} dt \\ &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{-\frac{1}{4}}{t - 1} + \frac{\frac{1}{4}}{(t - 1)^2} + \frac{\frac{1}{4}}{t + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{(t + 1)^2} \right) dt \\ &= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{4} \log |t - 1| - \frac{1}{4(t - 1)} + \frac{1}{4} \log |t + 1| - \frac{1}{4(t + 1)} \right) + C \\ &= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4} \log \frac{|t + 1|}{|t - 1|} - \frac{2t}{4(t^2 - 1)} \right) + C \\ &= \frac{1}{8} (\log \frac{|x^2 + 1|}{|x^2 - 1|} - \frac{2x^2}{x^4 - 1}) + C \end{aligned}

感想

置換からの部分分数分解。重解があるときの部分分数分解とかマジで覚えてなかった。シンプルに計算がむずい。あといい感じにまとめるのも本番では自信がないなー。

(3). ∫x41−xdx\int \frac{\sqrt[4]{x}}{1 - \sqrt{x}} dx

導出

t=x4t = \sqrt[4]{x} とおくと、t2=xt^2 = \sqrt{x}, 2tdt=12xdx2t dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx, dx=4t3dtdx = 4t^3 dt である。よって、

∫x41−xdx=∫t1−t24t3dt=−4∫t4t2−1dt=−4∫(t4−1t2−1+1t2−1)dt=−4∫((t2+1)+1(t+1)(t−1))dt=−4(t33+t+12log⁡∣t+1t−1∣)+C=−4(x433+x4+12log⁡∣x4+1x4−1∣)+C\begin{aligned} \int \frac{\sqrt[4]{x}}{1 - \sqrt{x}} dx &= \int \frac{t}{1 - t^2} 4t^3 dt \\ &= -4 \int \frac{t^4}{t^2 - 1} dt \\ &= -4 \int \left( \frac{t ^ 4 - 1}{t^2 - 1} + \frac{1}{t^2 - 1} \right) dt \\ &= -4 \int \left( (t^2 + 1) + \frac{1}{(t + 1)(t - 1)} \right) dt \\ &= -4 \left( \frac{t^3}{3} + t + \frac{1}{2} \log \left| \frac{t + 1}{t - 1} \right| \right) + C \\ &= -4 \left( \frac{\sqrt[4]{x}^3}{3} + \sqrt[4]{x} + \frac{1}{2} \log \left| \frac{\sqrt[4]{x} + 1}{\sqrt[4]{x} - 1} \right| \right) + C \end{aligned}

感想

誰が ∫t4t2−1dt=∫(t4−1t2−1+1t2−1)dt\int \frac{t^4}{t^2 - 1} dt = \int \left( \frac{t ^ 4 - 1}{t^2 - 1} + \frac{1}{t^2 - 1} \right) dt とか変換できんねん。ChatGPT o1 Pro に聞いたら解けててすごい。流石にこんなのは試験に出ないと信じたい。

(4). ∫x(x2+2)x2+1dx\int \frac{x}{(x^2 + 2)\sqrt{x^2 + 1}} dx

導出

t=x2+1t = \sqrt{x^2 + 1} とおくと、t2=x2+1t^2 = x^2 + 1, 2tdt=2xdx2t dt = 2x dx, xdx=tdtx dx = t dt である。よって、

∫x(x2+2)x2+1dx=∫1(t2+1)t⋅tdt=∫1t2+1dt=arctan⁡t+C=arctan⁡x2+1+C\begin{aligned} \int \frac{x}{(x^2 + 2)\sqrt{x^2 + 1}} dx &= \int \frac{1}{(t^2 + 1)t} \cdot t dt \\ &= \int \frac{1}{t^2 + 1} dt \\ &= \arctan t + C \\ &= \arctan \sqrt{x^2 + 1} + C \end{aligned}

感想

置換はパッと思いつけた。ただ arctan⁡\arctan になる標準積分とか知らねー！途中点狙いでいくしかないか・・・

(5). ∫x3sin⁡xdx\int x^3 \sin x dx

導出

∫x3sin⁡xdx=−x3cos⁡x+3∫x2cos⁡xdx+C=−x3cos⁡x+3(x2sin⁡x−2∫xsin⁡xdx)+C=−x3cos⁡x+3x2sin⁡x−6∫xsin⁡xdx+C=−x3cos⁡x+3x2sin⁡x+6(xcos⁡x−∫cos⁡xdx)+C=−x3cos⁡x+3x2sin⁡x+6xcos⁡x−6sin⁡x+C\begin{aligned} \int x^3 \sin x dx &= -x^3 \cos x + 3 \int x^2 \cos x dx + C \\ &= -x^3 \cos x + 3 \left( x^2 \sin x - 2 \int x \sin x dx \right) + C \\ &= -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x - 6 \int x \sin x dx + C \\ &= -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x + 6 \left( x \cos x - \int \cos x dx \right) + C \\ &= -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C \end{aligned}

感想

ひたすらに部分積分。こういう問題が出れば勝てるかもしれない。シンプルに頭が悪くてプラスとマイナスがごちゃごちゃになる。

(6). ∫x31−x2dx\int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} dx

導出

t=1−x2t = \sqrt{1 - x^2} とおくと、t2=1−x2t^2 = 1 - x^2, −2xdx=2tdt-2x dx = 2t dt, xdx=−tdtx dx = -t dt である。よって、

∫x31−x2dx=∫(1−t2)t⋅−tdt=−∫(1−t2)dt=−(t−t33)+C=−13t(3−t2)+C=−13(x2+2)1−x2+C\begin{aligned} \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} dx &= \int \frac{(1 - t^2)}{t} \cdot -t dt \\ &= -\int (1 - t^2) dt \\ &= -(t - \frac{t^3}{3}) + C \\ &= -\frac{1}{3}t (3 - t^2) + C \\ &= -\frac{1}{3} (x^2 + 2) \sqrt{1 - x^2}+ C \\ \end{aligned}

感想

この置換もパッと思いつけた。けどやっぱり最後のほうの整理で手こずるな〜

一旦終わり。次は平均値の定理？とかそういう系やりたい