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2024-12-15

微分積分 1人アドベントカレンダー 9日目 部分積分

微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

前回でてきて保留にした置換積分と部分積分をやっていく。

部分積分

部分積分は、微分可能な関数 f(x),g(x)f(x), g(x) に対して、次のような計算である。

∫f′(x)g(x) dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x) dx\begin{aligned} \int f'(x)g(x) \, dx &= f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) \, dx \end{aligned}

例えば7日目に保留した対数関数の積分 ∫logx dx\int log x \, dx は、f′(x)=1,g(x)=log⁡xf'(x) = 1, g(x) = \log x とおくことで、次のように計算できる。

∫log⁡x dx=∫1⋅log⁡x dx=xlog⁡x−∫x⋅1x dx=xlog⁡x−∫1 dx=xlog⁡x−x+C\begin{aligned} \int \log x \, dx &= \int 1 \cdot \log x \, dx \\ &= x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= x \log x - \int 1 \, dx \\ &= x \log x - x + C \end{aligned}

定積分の場合は、次の計算になる。

∫abf′(x)g(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf(x)g′(x) dx\begin{aligned} \int_a^b f'(x)g(x) \, dx &= \left[ f(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b f(x)g'(x) \, dx \end{aligned}

例えば ∫0π2xcos⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx は、f′(x)=cos⁡x,g(x)=xf'(x) = \cos x, g(x) = x とおくことで、次のように計算できる。

∫0π2xcos⁡x dx=[xsin⁡x]0π2−∫0π2cos⁡x dx=[xsin⁡x]0π2−[sin⁡x]0π2=π2−1=π−22\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx &= \left[ x \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx \\ &= \left[ x \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{\pi}{2} - 1 \\ &= \frac{\pi - 2}{2} \end{aligned}

与式の中から、積分しやすい部分を f′(x)f'(x)、微分しやすい部分を g(x)g(x) としてそれぞれ見つけ出すことが大事っぽいが、これも慣れないとむずいな。練習あるのみである。