微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

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前回でてきて保留にした置換積分をやっていく。

置換積分は、$x = g(t)$ とおくことで、以下のように計算できる。ここで $g(t)$ は微分可能である必要がある（$C^1$関数というらしい）。

$$\begin{aligned} \int f(x) \, dx &= \int f(g(t)) \cdot g'(t) \, dt \end{aligned}$$

例えば $\int \sin x \cos x \, dx$ は、$t = \sin x$ とおくことで、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int \sin x \cos x \, dx &= \int t \, dt \\ &= \frac{t^2}{2} + C \\ &= \frac{\sin^2 x}{2} + C \end{aligned}$$

定積分では、積分範囲も合わせて変換する。例えば $\int_2^3 \frac{x}{\sqrt{x - 1}} \, dx$ は、$t = \sqrt{x - 1}$ とおくことで、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_2^3 \frac{x}{\sqrt{x - 1}} \, dx &= \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{t^2 + 1}{t} \cdot 2t \, dt \\ &= \int_{1}^{\sqrt{2}} 2(t^2 + 1) \, dt \\ &= 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} (t^2 + 1) \, dt \\ &= 2 \left[ \frac{t^3}{3} + t \right]_{1}^{\sqrt{2}} \\ &= 2 \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} + \sqrt{2} - \frac{1}{3} - 1 \right) \\ &= \frac{2}{3} (5 \sqrt{2} - 4) \end{aligned}$$

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一旦仕組みはわかったけど、置換すべき部分を探すのは慣れないと難しい。後ほど練習問題をやることとして、次は部分積分をやる。