微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

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さて、また大きく時間が空いてしまった。期末試験が5日後に迫っている。

成績は宿題40%、期末試験60%によって評価され、総合して60%を超えると合格である。宿題はすでに全て終わっており、85/90点を獲得できた。つまり、期末試験では40/100点を目指せばよい。十分に高いハードルなのでやっていく。

ということで積分に入門する。基本公式から。

まずは三角関数。$\tan x$ はなんかむずくて泣きそうだけど、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ として置換積分？なるものをやると導出できるらしい。置換積分はなんか聞き覚えがある気がするがわからないのであとで勉強する。

$$\begin{aligned} \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \\ \int \cos x \, dx &= \sin x + C \\ \int \tan x \, dx &= -\log|\cos x| + C \\ \end{aligned}$$

続いて指数関数。これはシンプルに微分の逆で覚えやすいね。

$$\begin{aligned} \int a^x \, dx &= \frac{a^x}{\log a} + C \\ \int e^x \, dx &= e^x + C \\ \end{aligned}$$

お次は対数関数。これは $\log x = 1 \cdot \log x$ と見做して部分積分なる方法を用いて導出できるらしいが、部分積分もわからないので一旦飛ばす。

$$\begin{aligned} \int \log x \, dx &= x \log x - x + C \\ \end{aligned}$$

続いて分数。この辺りは微分の逆なのでギリわかるけど、さらに複雑になるともう無理だ。この2つにベットして覚える。

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{x} \, dx &= \log |x| + C \\ \int \frac{1}{x^2} \, dx &= -\frac{1}{x} + C \\ \end{aligned}$$

続いて普通の冪乗のやつ。これも普通の微分の逆なので頭を使えばいける。

$$\begin{aligned} \int x^a \, dx &= \frac{a + 1}{x ^{a + 1}} + C \\ \end{aligned}$$

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一旦ここまで。積分は公式を覚えるというより部分積分と置換積分なるテクを理解するのが大事か。次はそれをやる。