微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

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マクローリン展開に挑んだ。最初に断っておくと、マジで理解していない。とりあえず型を覚えて泥臭く途中点を獲得しにいく。これが俺の生き様や！

無限回微分可能な $f(x)$ に対して、次のような演算を行うことをマクローリン展開と呼ぶらしい。

$$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \\ &= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \end{aligned}$$

これは $a = 0$ におけるテイラー展開ともいうらしいが、テイラー展開が何かはわからない。それから収束半径？なる概念もあるらしいが、一旦忘れる。

というわけで例題を解いていく。

(1). $f(x) = e^x$

導出

$f(x) = e^x$ に対して、次のように微分を行う。

$$\begin{aligned} f(x) &= e^x \\ f'(x) &= e^x \\ f''(x) &= e^x \\ f'''(x) &= e^x \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} f(0) &= 1 \\ f'(0) &= 1 \\ f''(0) &= 1 \\ f'''(0) &= 1 \end{aligned}$$

よって $f(x) = e^x$ のマクローリン展開は次のようになる。

$$\begin{aligned} f(x) &= e^x \\ &= 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot \frac{x^2}{2!} + 1 \cdot \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{aligned}$$

感想

$e^x$ は流石にわかりやすいね。簡単な例で試してみたが、相変わらずマクローリン展開が何を意味するのかはよくわからない。

(2). $f(x) = \sin x$

導出

$f(x) = \sin x$ に対して、次のように微分を行う。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \cos x \\ f''(x) &= -\sin x \\ f'''(x) &= -\cos x \\ f^{(4)}(x) &= \sin x \\ f^{(5)}(x) &= \cos x \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f'(0) &= 1 \\ f''(0) &= 0 \\ f'''(0) &= -1 \\ f^{(4)}(0) &= 0 \\ f^{(5)}(0) &= 1 \end{aligned}$$

よって $f(x) = \sin x$ のマクローリン展開は次のようになる。

$$\begin{aligned} f(x) &= \sin x \\ &= 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} - 1 \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!} + 1 \cdot \frac{x^5}{5!} + \cdots \\ &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \end{aligned}$$

感想

これもやるだけ感。無限回微分だねぇ〜の気持ち。

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ε-δ論法と同様にヨビノリで心を理解しようとしたら難しかったけど、理解を放棄して型を覚えることに専念したら意外といけた。この調子でテイラー展開や収束半径もやりたいけど、一旦そろそろ積分やろうかな。