微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

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マクローリン展開をやろうとしたら訳がわからなかったので、一旦ロピタルの定理をやる。これはなんかめっちゃシンプルだし使い所わかりやすくてコスパ定理って感じがするね。好き。

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ か $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形のとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというもの。

ロピタルの定理を適用しても不定形が解消されない場合は、再度適用することができるらしい。早速練習問題を解いていく。

(1). $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x}$

導出

$f(x) = x^3, g(x) = x - \sin x$ とおくと、$f(0) = 0, g(0) = 0$ で不定形になるので、ロピタルの定理を適用する。

$f'(x) = 3x^2, g'(x) = 1 - \cos x$ より、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - \cos x} \end{aligned}$$

ここで $f'(0) = 0, g'(0) = 0$ で不定形になるので、再度ロピタルの定理を適用する。

$f''(x) = 6x, g''(x) = \sin x$ より、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - \cos x} &= \lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x} \end{aligned}$$

ここで $f''(0) = 0, g''(0) = 0$ で不定形になるので、再度ロピタルの定理を適用する。

$f'''(x) = 6, g'''(x) = \cos x$ より、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x} \\ &= 6 \end{aligned}$$

よって $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x} = 6$ である。

感想

o1 pro 曰く、この問題はテイラー展開なるものでシンプルに解けるらしいんだけど、関係ない。この身が尽きるまでロピタルの定理を適用し続ける。

(2). $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$

導出

$f(x) = a^x - b^x, g(x) = x$ とおくと、$f(0) = 0, g(0) = 0$ で不定形になるので、ロピタルの定理を適用する。

$f'(x) = a^x \log a - b^x \log b, g'(x) = 1$ より、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{a^x \log a - b^x \log b}{1} \\ &= \log a - \log b \\ &= \log \frac{a}{b} \end{aligned}$$

よって $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} = \log \frac{a}{b}$ である。

感想

The Basic という感じ。1ロピタルで終わって嬉しいね。普通の対数の式変換のほうがうろ覚えだった。

(3). $\lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{(1 + x) \log (1 + x)}$

導出

$f(x) = \sin \pi x, g(x) = (1 + x) \log (1 + x)$ とおくと、$f(0) = 0, g(0) = 0$ で不定形になるので、ロピタルの定理を適用する。

$f'(x) = \pi \cos \pi x, g'(x) = \log (1 + x) + \frac{1 + x}{1 + x} = \log (1 + x) + 1$ より、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{(1 + x) \log (1 + x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{\pi \cos \pi x}{\log (1 + x) + 1} &= \pi \end{aligned}$$

よって $\lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{(1 + x) \log (1 + x)} = \pi$ である。

感想

$(1 + x) log (1 + x)$ にちょっと面食らったけど、丁寧に積の微分をやればいけた。

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1日目の記事に立ち返ることが多くて、早くも自分の記事に感謝している。次こそマクローリン展開にチャレンジしたい。