2024-12-08

微分積分 1人アドベントカレンダー 3日目極限

微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

オンタイムで2日間しかできなかった・・・。今日は日曜日なので5日分取り返していく。

サボっている間に同僚から、 $\sin$ などは $sin$ のような書体で書かない方が賢そうに見えると教わった。そのため今日からはやや賢そうな記事になることだろう。

さて、まずは極限の計算練習をする。

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - x}{2x^5 + 3x} &= \lim_{x \to 0} \frac{2x - 1}{2x^4 + 3} \\ &= -\frac{1}{3} \end{aligned}

分子と分母を $x$ で割って有理化する感じ。

\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - x - 2} &= \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(2x + 1)}{(x-2)(x+1)} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{2x + 1}{x + 1} \\ &= \frac{5}{3} \end{aligned}

因数分解を頑張る。 $x^2$ の係数が2以上のときの因数分解、当てずっぽうで色々試してみる以外の手を持ち合わせていなくて厳しい。

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{a}}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{x + a - a}{x(\sqrt{x+a} + \sqrt{a})} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+a} + \sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{a}} \end{aligned}

逆因数分解的にいい感じの値を掛けて有理化するやつ。平方根が出てきた時にやりがちか？この逆因数分解的なの、いい感じの名前ついてんのかな。

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1 + \cos x)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} \\ &= \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos x} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}

なんか加法定理？かなんかでカッコよくできるらしいけど、難しいので (3) と同じように頑張る。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ も導出よくわからんけどまあ覚えてなんとかする。

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \frac{\sin x}{x} \\ &= 1 \end{aligned}

これも公式覚えゲーやな。

\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - x} - x) &= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - x^2}{\sqrt{x^2 - x} + x} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2 - x} + x} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1} \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned}

逆因数分解をかましたあとに、分子分母を割って有理化するパターン。平方根の中は2乗で割れる。

\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x + 1} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \\ &= 0 \end{aligned}

単純に割る。0になると不安になるけど合ってそう。

一旦ここまで！次はなんちゃら論法をやる

微分積分 1人アドベントカレンダー 3日目 極限