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2024-12-02

微分積分 1人アドベントカレンダー 2日目 公式の練習

微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

さて、今日は昨日覚えた公式を体に染み込ませるべく、練習問題をいくつか解く。

(1). y=(x2+1)3y = (x^2 + 1)^3

y′=3(x2+1)2⋅2x=6x(x2+1)2y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2

これは合成関数の初歩的なやつっぽい。

(2). y=a2−x2y = \sqrt{a^2 - x^2}

y′=12a2−x2⋅(−2x)=−xa2−x2y' = \frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot (-2x) = - \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}

平方根の微分がわからなかったけど、(a2−x2)12(a^2 - x^2)^{\frac{1}{2}} と考えると、合成関数の顔つきで解けた。

(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}、覚えた！

(3). y=1−x21+x2(∣x∣<1)y = \sqrt{\frac{1 - x^2}{1 + x^2}} \qquad (|x| < 1)

y′=1+x221−x2⋅−2x(1+x2)−(1−x2)(2x)(1+x2)2=1+x221−x2⋅−4x(1+x2)2=−2x1−x21+x2(1+x2)=−2x1−x4(1+x2)\begin{aligned} y' &= \frac{\sqrt{1 + x^2}}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{-2x(1 + x^2) - (1-x^2) (2x)}{(1+x^2)^2} \\ &= \frac{\sqrt{1 + x^2}}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{-4x}{(1+x^2)^2} \\ &= \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2}(1 + x^2)} \\ &= \frac{-2x}{\sqrt{1-x^4}(1+x^2)} \end{aligned}

ベースは合成関数と商の微分。微分よりもその後の式変形がむずい。

(4). y=(x−1x)4(x≠0)y = (x - \frac{1}{x})^4 \qquad (x \neq 0)

y′=4(x−1x)3⋅(1−−1x2)=4(x−1x)3(1+1x2)\begin{aligned} y' &= 4(x - \frac{1}{x})^3 \cdot (1 - \frac{-1}{x^2}) \\ &= 4(x - \frac{1}{x})^3 (1 + \frac{1}{x^2}) \end{aligned}

これも普通に合成関数。1x\frac{1}{x} って普通に商の微分の公式に当てはめてやってみたけど、(ax)′=−ax2(\frac{a}{x})' = -\frac{a}{x^2} で覚えたほうがいいね。

(5). y=1+1x(x>0)y = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} \qquad (x > 0)

y′=121+1x⋅−12xx=121+1x⋅−12xx=−14xx+x\begin{aligned} y' &= \frac{1}{2\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}} \cdot \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}} \cdot \frac{-1}{2x\sqrt{x}} \\ &= - \frac{1}{4x\sqrt{x + \sqrt{x}}} \end{aligned}

分数 in 分数とかになっても焦らず順番に公式を当てていくのが大事！

(6). y=cosxsin2xy = cosx sin^2x

y′=−sinxsin2x+cosx⋅2sinx⋅cosx=−sin3x+2sinxcos2x\begin{aligned} y' &= -sinx sin^2x + cosx \cdot 2sinx \cdot cosx \\ &= -sin^3x + 2sinxcos^2x \end{aligned}

積の微分と三角関数の微分の初歩的なやつ。

(7). y=sin3xy = sin^3x

y′=3sin2xcosx\begin{aligned} y' = 3sin^2xcosx \end{aligned}

急に簡単で不安になった。

(8). xsin−1xx sin^{-1}x

わからない！！逆三角関数ってなんだよ！！飛ばす。

(9). y=xne−x(nは自然数)y = x^n e^{-x} \qquad (n\text{は自然数})

y′=nxn−1e−x+xn(−e−x)=xn−1e−x(n−x)\begin{aligned} y' &= nx^{n-1}e^{-x} + x^n(-e^{-x}) \\ &= x^{n-1}e^{-x}(n - x) \end{aligned}

nn とか言われるとちょっと戸惑うけど、今まで通りだね。

(10). y=log∣sinx∣y = log|sinx|

y′=1sinx⋅cosx=1tanx\begin{aligned} y' &= \frac{1}{sinx} \cdot cosx \\ &= \frac{1}{tanx} \end{aligned}

tanx=sinxcosxtanx = \frac{sinx}{cosx} とかも覚えとかなきゃいけないんか・・・

(11). y=log∣cosx∣y = log|cosx|

y′=1cosx⋅(−sinx)=−tanx\begin{aligned} y' &= \frac{1}{cosx} \cdot (-sinx) \\ &= -tanx \end{aligned}

これは (10) とほぼ同じ。

(12). y=xx(x>0)y = x^x \qquad (x > 0)

xx=exlogxx^x = e^{xlogx} と置き換えて考える。

y′=exlogx⋅(logx+x⋅1x)=xx(logx+1)\begin{aligned} y' &= e^{xlogx} \cdot (logx + x \cdot \frac{1}{x}) \\ &= x^x(logx + 1) \end{aligned}

対数微分法？なるものもあるらしいが、よくわからなかったので知ってる公式を使える形で無理やりやる。これでいい。これでいいんだ。

今日はここまで！数式部とその他の境目が見にくいので、数式に背景色をつけるなどの毛刈り活動に移りたいところだが、我慢我慢。勉強第一！

初歩的な公式は身についてきた感があるので、明日は証明とかなんか理解するやつをやりたい。