微分積分1人アドベントカレンダーは、来たる2024年12月20日に行われる微分積分A(GA15321)の期末試験に合格すべく、筆者が毎日の勉強を記録するものである。

微分積分Aは学部1年生の必修科目であり、筆者は通算6回目の受験となる。本科目の修得を以て筆者の卒業が決まる状況であるため、今年こそは合格を目指す。

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さて、1日目はブログにKaTeX対応を加えるなどの yak shaving で満足しているところだが、流石に少しやっておく。

今日は、基本的な公式を頑張って覚える。高校数学をロクにやってこなかったツケである。目的は本質的な理解ではなく期末試験の突破なのでとにかく覚える（最悪）。

まずは三角関数の微分。これがわからなくて手も足も出ない問題ばっかりで困っちゃう。

$$(sin x)' = cos x \\ (cos x)' = - sin x \\ (tan x)' = \frac{1}{cos^2 x}$$

そういえば $sin^2x + cos^2x = 1$ みたいなのも思い出す必要があるか。何からやればいいのやら・・・

次は指数関数。$log e = 1$ なので $e^x$ は微分しても変わらない。

$$(a^x)' = a^x \cdot \log a \\ (e^x)' = e^x$$

続いて合成関数。内側そのままで微分したやつに、内側の微分をかける。

$$(g \circ x)'(x) = (g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$$

例えば $sin(x^2)$ を微分するとき、$g(x) = sin(x)$, $f(x) = x^2$ なので、次のように計算する。

$$(sin(x^2))' = cos(x^2) \cdot 2x$$

続いて対数関数。ここでも $a = e$ の場合はシンプルになる。

$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \log a} \\ (\log x)' = \frac{1}{x}$$

続いて積の微分。片方を微分してもう片方をそのままにした積を、足し合わせる。

$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$

例えば $x^2 \cdot sin(x)$ を微分するとき、$f(x) = x^2$, $g(x) = sin(x)$ なので、次のように計算する。

$$(x^2 \cdot sin(x))' = 2x sin(x) + x^2 cos(x)$$

最後は商の微分。分子の引き算の順番を覚えるのがむずかしい。

$$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$$

例えば $\frac{x^2}{sin(x)}$ を微分するとき、$f(x) = x^2$, $g(x) = sin(x)$ なので、次のように計算する。

$$(\frac{x^2}{sin(x)})' = \frac{2x sin(x) - x^2 cos(x)}{sin(x)^2}$$

今日はここまで。明日は練習問題をたくさん解くか、数列の極限あたりをやろうかな。